期權(quán)的平價公式（PUT-CALL PARITY）以及無風險套利
發(fā)布時間：2020-09-22 16:11:19
搜索
歐式期權(quán)PCP平價公式（假設(shè)標的資產(chǎn)不付紅利）
首先定義如下符號以方便描述：S為標的資產(chǎn)現(xiàn)價；X為期權(quán)行權(quán)價格；T為期權(quán)的到期時間；t為當前時間；r為無風險利率（連續(xù)復(fù)利）；C為看漲期權(quán)的價值；P為看跌期權(quán)的價值。
組合1： 看漲期權(quán)C+現(xiàn)金（行權(quán)價格的無風險貼現(xiàn)值）
組合2： 看跌期權(quán)P+標的資產(chǎn)
在T時刻，組合A的價值：若在T時刻股票價格S≥X,則在T時刻組合A的價值為看漲期權(quán)的價值S－X加上現(xiàn)金資產(chǎn)X,即S－X +X=S；若在T時刻股票價格S＜X,則在T時刻組合A的價值為看漲期權(quán)的價值0 加上現(xiàn)金資產(chǎn)X，即0+X=X。
在T時刻，組合B的價值：若在T時刻股票價格S≥X,則在T時刻組合B的價值為看跌期權(quán)的價值0 加上股票價值S，即0+S = S。若在T時刻股票價格S＜X,則在T時刻組合B的價值為看跌期權(quán)的價值X-S加上股票價值S，即X-S+S=X。
A、B兩個組合價值
綜上所述，在到期日T時刻，無論股票價格如何變動，組合A的價值總是等于組合B的價值。由此可得，組合A與組合B在當前時刻的價值也應(yīng)該相同，否則存在無風險套利機會。因此，具有同樣行權(quán)價格和到期日的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)當前理論價格滿足以下的關(guān)系。
C+Ke^(-rT)=P+S
套利是指利用兩種或更多產(chǎn)品價格之間的不合理關(guān)系而獲取確定性盈利的交易方式。當期權(quán)的交易價格明顯偏離其理論定價時，就出現(xiàn)無風險套利機會。下面主要從期權(quán)價格的上下限方面來討論錯誤定價帶來的無風險套利機會。
看漲期權(quán)的持有者有權(quán)以某一確定的價格購買約定數(shù)量的標的資產(chǎn)。在任何情況下，期權(quán)的價值都不會超過標的資產(chǎn)的價值。因此，標的資產(chǎn)價格就是看漲期權(quán)的價格上限：C≤S 。如果實際情況違反了這一關(guān)系，則套利者通過購買標的資產(chǎn)并賣出看漲期權(quán)，可獲得無風險收益。
看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以X的價格出售約定數(shù)量的標的資產(chǎn)。無論標的資產(chǎn)價格變得多么低，期權(quán)的價值都不會超過X。因此，行權(quán)時看跌期權(quán)的價格上限：P≤X。
對于歐式看跌期權(quán)，由于T時刻期權(quán)的價值不會超過X，因此可以將其價格上限進一步確定為：P≤Xe-rt，即歐式看跌期權(quán)的價格不會超過其行權(quán)價格X的現(xiàn)值。如果不存在這一關(guān)系，則套利者可以出售期權(quán)并將所有收入以無風險利率投資，獲取無風險套利。
首先定義如下符號以方便描述：S為標的資產(chǎn)現(xiàn)價；X為期權(quán)行權(quán)價格；T為期權(quán)的到期時間；t為當前時間；r為無風險利率（連續(xù)復(fù)利）；C為看漲期權(quán)的價值；P為看跌期權(quán)的價值。
組合1： 看漲期權(quán)C+現(xiàn)金（行權(quán)價格的無風險貼現(xiàn)值）
組合2： 看跌期權(quán)P+標的資產(chǎn)
在T時刻，組合A的價值：若在T時刻股票價格S≥X,則在T時刻組合A的價值為看漲期權(quán)的價值S－X加上現(xiàn)金資產(chǎn)X,即S－X +X=S；若在T時刻股票價格S＜X,則在T時刻組合A的價值為看漲期權(quán)的價值0 加上現(xiàn)金資產(chǎn)X，即0+X=X。
在T時刻，組合B的價值：若在T時刻股票價格S≥X,則在T時刻組合B的價值為看跌期權(quán)的價值0 加上股票價值S，即0+S = S。若在T時刻股票價格S＜X,則在T時刻組合B的價值為看跌期權(quán)的價值X-S加上股票價值S，即X-S+S=X。
A、B兩個組合價值
S≥X S＜X
組合A Call在T時刻的價值 S－X 0
現(xiàn)金在T時刻的價值 X X
組合A在T時刻總價值 S X
組合B Put在T時刻的價值 0 X-S
股票在T時刻的價值 S S
組合B在T時刻總價值 S X
綜上所述，在到期日T時刻，無論股票價格如何變動，組合A的價值總是等于組合B的價值。由此可得，組合A與組合B在當前時刻的價值也應(yīng)該相同，否則存在無風險套利機會。因此，具有同樣行權(quán)價格和到期日的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)當前理論價格滿足以下的關(guān)系。
C+Ke^(-rT)=P+S
套利是指利用兩種或更多產(chǎn)品價格之間的不合理關(guān)系而獲取確定性盈利的交易方式。當期權(quán)的交易價格明顯偏離其理論定價時，就出現(xiàn)無風險套利機會。下面主要從期權(quán)價格的上下限方面來討論錯誤定價帶來的無風險套利機會。
看漲期權(quán)的持有者有權(quán)以某一確定的價格購買約定數(shù)量的標的資產(chǎn)。在任何情況下，期權(quán)的價值都不會超過標的資產(chǎn)的價值。因此，標的資產(chǎn)價格就是看漲期權(quán)的價格上限：C≤S 。如果實際情況違反了這一關(guān)系，則套利者通過購買標的資產(chǎn)并賣出看漲期權(quán)，可獲得無風險收益。
看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以X的價格出售約定數(shù)量的標的資產(chǎn)。無論標的資產(chǎn)價格變得多么低，期權(quán)的價值都不會超過X。因此，行權(quán)時看跌期權(quán)的價格上限：P≤X。
對于歐式看跌期權(quán)，由于T時刻期權(quán)的價值不會超過X，因此可以將其價格上限進一步確定為：P≤Xe-rt，即歐式看跌期權(quán)的價格不會超過其行權(quán)價格X的現(xiàn)值。如果不存在這一關(guān)系，則套利者可以出售期權(quán)并將所有收入以無風險利率投資，獲取無風險套利。
